微光理科——一个从根部生长的理科体系

什么是高智商孩子的分水岭

2026-01-30T00:00:00+00:00

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很多家长都在社交媒体上见过类似内容：“高智商孩子的分水岭”配一张看似简单的几何图，或者一段逻辑推理，然后附一句——测测你家孩子属于哪一档。不少家长会下意识点开，让孩子试一试，甚至自己先做一遍，这很自然。</p>

当然结果往往是挫败，比如上面这道几何题，叫作兰利的偶然角，是上世纪初著名的初等几何问题，从名字就知道这个问题要比看上去难。</p>

仔细想想，这类题目到底提供了什么？多数情况下，它们提供的是一种短暂的测试体验：有难度、有答案、有结果、有情绪反馈。做对了会开心，做不出会焦虑，但无论哪种情绪，都很难转化为稳定能力的提升。</p>

这类内容的设计重点，不是教学，而是吸引注意力和传播。题目的难度被有意模糊：要看上去足够简单才能让人愿意尝试，又要实际足够难才能制造区分度和讨论度。至于问题的内核是不是也像外表一样有趣、是否可以吸收为知识体系的一部分，通常不是重点。</p>

从一道题，可以看到更大的问题：今天的家长和孩子，面对的不是资源不足，而是资源过载。现在的学生几乎可以接触到无限多的教育资源：题库、课程、讲解视频、测评工具、训练营、竞赛内容。丰富到过量的选项，带来的通常是迷失。</p>

很多资源都在暗示“这很重要”、“能拉开差距”。但拉开差距的，不可能是一道题或一个技巧，而是长期、稳定、方向清晰的学习结构。如果某个资源只是带来短期刺激，而不能进入知识体系，不能迁移到新问题，不能服务于阶段性目标，它对长期成长的价值是有限的。</p>

在这种环境下，家长角色发生了变化。过去，家长的职责是帮孩子找到更多资源。现在，更重要的是帮孩子筛选和拒绝资源。一个简单的判断标准是：</p>

它是在训练能力，还是在制造焦虑？</li>
它是在搭结构，还是只是在堆难度？</li>
它是否适合孩子当前阶段，而不是迎合家长的期待或外界节奏？</li> </ol>
有效的学习既不显眼，也不戏剧化。它更多体现在概念是否扎实、知识是否成体系、思维方式是否稳定、学习节奏是否可持续。这些东西很难等价于一系列的即时反馈，却决定了孩子的长期发展。</p>
从这个角度看，一道刷屏的几何题并没什么，问题出在把教育决策交给流行趋势和情绪反应。识别并过滤噪声，是家长能给孩子的重要支持。</p>
时间和注意力是一个人最宝贵的资源，真正的分水岭在于对它们审慎严肃的使用。</p>

老虎来了生存指南——2025年12月23日分享活动

2025-12-23T00:00:00+00:00

一、缘起</h2>
关于「内卷」这个话题，四五年前就想系统地聊一聊，但之前都是小范围的私下交流。现在是合适的时机——这几年初中、高中家长应该都能感受到一些变化：</p>

就算想卷，慢慢也有点卷不动了；</li>
就算卷得动，产出好像也在变小；</li>
不像以前那样，付出就一定有相当的回报。</li> </ul>
这是一个剧烈变化的时期。「今天谈内卷该怎么办」几年之内会成为每个家长都必须考虑的问题，不管愿不愿意。</p>
「老虎来了」是个玩笑，但内卷有点像身后有一只老虎一直追着我们。老虎来了我们应该怎么办——这就是要讨论的核心。</p>
二、卷与内卷：老虎的比喻</h2>
我们不应该「内卷」。「内卷」的字头是「内」——它种在「内」字上，不种在「卷」字上。内卷和「卷」、和我们当年那种努力，是不一样的东西。</p>
假设有一只老虎在追我们，有两种思路：</p>
</th> 思路一（卷 / 向外）</th> 思路二（内卷 / 向内）</th></tr></thead>

目标</td> 跑得比老虎快</td> 比身边的人跑得快</td></tr>
对象</td> 老虎（真正的问题）</td> 同伴（突破点）</td></tr>
方法</td> 造车、电动车、设陷阱、造毒箭、铁甲</td> 淘汰同伴，眼前问题就解决了</td></tr>
性质</td> 解决问题</td> 零和博弈</td></tr>
需要的条件</td> 冷静、判断力、高能力</td> 直观本能反应</td></tr> </tbody></table>
内卷是一种本能反应——对追着跑的人来说，「真的跑得比老虎快」太难，需要太冷静、能力要求太高。所以最直观的反应是：我只要跑得比身边那个同伴更快就好了。</p>
每遇到一次老虎，通过淘汰一个同学来解决——短期问题似乎解决了。但如果这只老虎一直在，要跟它共处五年、十年，所有人都专注于跑赢同伴，最后实际上解决不了这个问题。专注于竞争，总有一个时候会发现：我太累了，因为那个问题还在那儿，没有解决它。</p>
这个比喻有两个提示。第一，「卷」是向外的，「内卷」是向内的——向外对着老虎，向内对着同伴；纯竞争是零和的，这是内卷的重要特点。第二，不要把「专注于竞争」当成目标本身，否则原本的问题始终不会被解决。</p>
三、内卷的四个演化阶段</h2>
阶段一是健康阶段。老虎在后面真的追，每个人都希望跑得更快、都在拼命锻炼。这还算是内卷发展中相对健康的一段。</p>
阶段二，问题被转移。三四年之后可能出现一种情况：所有人真的都跑得比老虎快了，或者老虎累了、不构成威胁。但这个时候，只要跑得不如同伴快，仍然会被这样的环境淘汰。原来的问题已经没有意义，但竞争变成了唯一目标。</p>
阶段三，老虎已经不在。那只老虎可能已经老死了。但这个时候整个环境——爷爷奶奶、父母辈、祖辈，或者其他人——仍然会告诉你「跑得快非常重要」，因为「在什么样的年代，曾经有过老虎……」。这一部分对我们来说还算良性。</p>
阶段四，商业化裹挟。还有一部分人告诉你跑得快很重要，是因为他卖跑鞋、卖兴奋剂，或者他是短跑教练——带着明显的利益动机。</p>
到了这一步，会看到：内卷和我们本身面临的问题之间，已经完全没有关系。</p>
四、内卷的两大根源</h2>
4.1 资源的匮乏</h3>
资源匮乏意味着——如果没有那只老虎，跑得快慢就不重要了。</p>
我们这代人经历的那个年代，大概三四十年的样子，一开始资源匮乏，但很快外部和时代的资源就涌入了。到几年前，资源都是非常充沛的。我们那时候虽然也觉得辛苦、累、卷，但回顾那个时代，资源其实并不匮乏。</p>
现在不一样了。教育上，好的教育资源越来越少；就业上更加不用讲——就算读了 C9 的本科生，问他后面想做什么工作，大部分回答是「我要继续读研」或「继续读一个博士」，似乎那样问题就解决了。但实际上那个问题还在那，只是被推迟。</p>
4.2 能力的匮乏</h3>
如果专注于跑赢同伴，会发现：对整个民族、对整个人类、至少对这一代人来说，内卷不会带来成长。</p>
作为老师，感受很深。十年前的大学生和现在的大学生相比，光看考试能力或者高考分数，这十年成绩是被往上推高的。但是——现在的学生相比十年前，不仅没有成长，有些能力你会明显地感觉到是在往后退。</p>
这是必然的结果：当你跑得比老虎快（老虎已经不是威胁）时，你还是被这个系统淘汰了——这意味着一种集体的恐慌。大家被老虎吓趴了，所以觉得「我跑得再快也不够，还可以更快」。</p>
4.3 当客观问题消失，价值仍被错误定义</h3>
假如客观问题因为各种原因已经没有了，但系统或者大家的价值观仍然认为「一定要比老虎跑得快」，那么我们的价值就在被一件已经没有意义的事情定义。原因是多方面的——有些是固执，有些是认识的问题，还有一些，是因为这当中意味着很多商业价值。</p>
五、死海盐度：为什么经验不能简单复制</h2>
我们这代人的经验是：努力最终真的会成功。那个时候确实能看到很多人做出有勇气的改变、付出努力，最后真的成功了。但是——我们的努力，很大程度上是有这个时代向上背景的加持的。</p>

在一个含盐度很高的死海里，大家都沉不下去。大家在里面游泳，也许有人做倒立、潜水等特技动作，随便怎么玩都没事。</p>
但因为一些原因，这个海的含盐度慢慢被稀释。有的人就发现：我原来是浮在这儿的，现在浮不起来了。</p>
这个时候你会发现，原来被认为「做得很好」的一些人，离开了这个时代的加持之后——这就是我们现在正在发生的事情。</p> </blockquote>
比如投资房产。过去二三十年我们觉得买房一定会赚钱，收益主要来源于投资。但这个投资真的是因为眼光好吗？因为大家分析之后觉得「这个房产根据我的分析价值一定会一直提升」？</p>
实际上不是。是因为大家都加入了这个游戏。所有人都玩，我们也进来玩，然后自然得到了回报。这个回报并不仅来源于我们的努力——它跟时代有关系。</p>
所以不要对小孩说「我可以你为什么不可以」「我当年比你还怎么样」——没这么简单。现在这个环境要好好想一想，需要非常系统性的教育规划。</p>
当然努力一定是有意义的——长远看，只要持之以恒地付出，当然是有意义的。</p>
六、理解年轻一代</h2>
我们总是对年轻一代有所批评，觉得看不上他们——比我们脆弱、消极。但他们面对的压力和我们不一样。</p>
在学校里基本上每个人头顶都有一个分数——每个人就是一个数字，到底是好学生还是差学生。</p>

如果我头顶的数字是 70 几，面对另外一个顶着 90 几的学生，那我跟他等级森严，我们之间根本不需要去霸凌或者说什么——就是这个数字在那。</p> </blockquote>
单位里面虽然也有不同层级，但不像这个这么残酷。</p>
这些脆弱消极的孩子，背后是有一颗简单纯真的心的——他们想的是比较美好的，都很想好的。会消极，是因为对他们来说：</p>

如果这件事我不去做，至少不会失败；</li>
但如果做了、失败了，那个后果他们觉得自己无法承受。</li> </ul>
这个后果给他们的压力会很大。所以大家要知道——不一样。</p>
七、罗素 1930 年的预言</h2>
罗素 1930 年在《幸福之路》里写过一段话：</p>

把竞争看作生活中的主要事情，这种观点太残酷、太顽固，使人的肌肉太紧张，使人的意志太集中，以至于如果把它当作人生的基础的话，连一两代人都难以延续。经过这样的一段时间，它一定会引起神经疲劳、各种形式的逃避。对快乐的追求同对工作的追求一样紧张艰难，因为松弛宽裕已经不可能了。最后，因为不愿生育，导致整个种族消亡。</p> </blockquote>
这是一百年前的描述。我们现在是不是处在这样的状态？特别是他的论断——「连一两代人都难以延续」。</p>
八、为什么还是要卷</h2>
换一个声调——我鼓励大家一定要「卷」，内卷的时候你更要卷。原因是：</p>

现在老虎还在；</li>
资源匮乏就是我们面临的问题；</li>
没有讨巧的路，也没有什么「世界末日我带着一座超市在某某地方隐居」的网文剧情。</li> </ul>
所以今晚这样过来，大家都想今晚打老虎——我们要去解决这个问题。</p>
九、四个原则</h2>
原则一：假装看穿</h3>
即使你不是真的看穿现在的问题，只要隐隐觉得现状有点问题、应该做改变——你就是「假装看穿它」。这是最重要的第一步。</p>
也许有人说：「我不像你这样坚定，也不那么理解——为什么我做错题本、时间规划精确到分钟有什么不好？大家都用这个方式，我也用有什么不好？」这些不理解可以有，但你应该隐隐觉得「现在这样是有点问题的」。只要你确定这一点，觉得应该做改变，那就是开始了。</p>
原则二：务实</h3>
务实就是接受所有的现状作为起点，包括：</p>

家庭经济能力——不会突然改变；</li>
孩子的性格与偏好——不要老说「这个孩子性格不好」「他懒惰、贪玩」，如果有这些评价，把它当成现状先接受下来；</li>
孩子当前的成绩——不会像机构宣传的那样「上次 50 分、这次 90 分」；</li>
好的或不好的习惯。</li> </ul>
要以这些为出发点，而不是「他只要怎么样就不会是现在这样」——那不是出发点，那是你理想中的目的地。</p>
改变和崩溃是一样的：都是慢慢你看不到有什么改变，然后突然这个改变就发生了。所以「没有速效药」指的是前面那一部分——慢慢积累的那一部分。</p>
抛开这些幻想：</p>

学习某种特定学习方法就能提高一百倍——我当学生时也很幼稚，那时候书店里有本《学习的革命》，黄色封面，腰封讲的是「看了这本书学习效率提高 100 倍」。我真的买了回来，后来才发现他那本书要革的是我的命，不是学习——全是胡说。</li>
某种特别的教育哲学会拯救一切——那是你的信仰，但信仰不解决眼前的问题。它可以让你更从容、更坚定，但眼前的问题要去做才能解决。</li>
遇到某个特别好的老师就行——老师会在一些地方给你意见、告诉你目标、给好的示范，但最后落实都是落实到自己。</li>
高强度的督促与要求——这是把希望寄托在孩子身上，是要求别人。我们要做的是要求自己。</li> </ul>
原则三：差异化竞争</h3>
大家现在已经开始意识到这一点。差异化不等于承认自己不行。</p>
所谓「硬碰硬」的对决，都不是最残酷的战斗。最残酷的战斗是：你用一切有效的方法去解决对方。正面硬刚，就像最近网上的「打耳光大赛」——你打我一下、我打你一下——那不是战斗。</p>
差异化竞争的核心是：家庭资源要做合理配置。不可能面面俱到，最后要配置在最能发挥作用的地方。</p>
原则四：建立长期兴趣</h3>
对同学来说很重要——要建立长期兴趣。这个兴趣不一定是某个学科的，也可以是业余爱好。因为这件事情和「一个年轻人怎么看自己」有关系。有长期兴趣的年轻人，精神世界会稳定很多。</p>
十、卷什么、不卷什么</h2>
不要卷分数。月考、中考、期中考之类的分数是参考，不是决定你今天情绪的「情绪表」。</p>
要卷的是：</p>

能不能长期专注；</li>
一件事情会不会拆解，分成若干任务一步步完成；</li>
面对挫折用什么态度——是「算了」还是「重整旗鼓」。</li> </ul>
十一、给家长的三件事：时间、智慧、勇气</h2>
都要卷自己，不要卷别人——父母不要去卷孩子。</p>
时间：陪伴，不是监督</h3>
要投入时间，但投入的是陪伴，不是监督。这个区别很大。陪伴是：我和你共同度过这样一段时间，在这段时间里，如果你有需求、有我可以帮的忙，我会帮你。监督是：不停地在评价「你现在做得好不好」「你这五分钟做得好不好」。</p>
不要监督。</p>
智慧：把握大方向</h3>
对父母来说，智慧就是把握大的方向。所以要对现状和未来有一些基本的判断。</p>
勇气：调整期待</h3>
看起来像是小事——孩子成绩的起伏——但实际上都不是小事。每一次考试成绩的起伏，特别是考得不好的时候，你怎么去调整自己的期待？这实际上是需要勇气的。</p>
十二、给学生的三件事：时间、智慧、勇气</h2>
时间：真正投入，注重效率</h3>
不是每天累得要死或者刷多少题。注重效率——「真的投入的时间」，而不是「被迫投入的时间」，也不是「一边做着这个、一边在想其他东西（因为那些更吸引我）」。</p>
智慧：理解你学的东西</h3>
尽量去理解你学的东西，不要条件反射。一个问题告诉你，最好是用大脑去想，不是通过脊椎去说「这是一个什么题，所以怎么怎么样」。</p>
这对孩子的要求还是蛮高的，特别是习惯了条件反射式学习的孩子——他需要一长段时间来做这样的转向。</p>
勇气：以自己的方式学习</h3>
以自己的方式学习，而不是以成功者的方式学习。要不停地去调整——没有一种方法适用于所有人。</p>
如果微观地去看每个成功的孩子，你会发现：每个成功的孩子，都是以自己的方式制造了一个小小的奇迹。都有自己的方式，而不是普遍的、大家都用的「成功方式」。</p>
对孩子来说，不随大流也是不容易的——但这是方向。</p>
十三、结语：唯有爱</h2>
不管怎么样，我们总是要从第一步开始——就是「假装看穿它」，也就意味着我们一定要去做一些改变和努力。</p>
最后回到：如果你真的想改变这一切——只有爱。</p>
这句话不需要解释。</p>

3×5 和 5×3 是一回事吗？

2025-09-24T00:00:00+00:00

问题来自朋友圈一篇有意思的文章。</p>
有 3 个盘子，每盘 8 个水果，一共有多少个水果？列式是 3×8 还是 8×3？孩子写了 3×8，却被老师判错。</p>

公众号：名校密码幼教观察
“3×8”还是“8×3”？一道小学数学题，引发争议！</p> </blockquote>
这确实是一个值得讨论的数学问题，因为 3 个 5 相加和 5 个 3 相加是完全不同的两个过程。</p>
如果你不觉得这需要解释，试着把数字放大些：往盒子里每次放 11 个球，一共放 23 次，居然和每次放 23 个球，一共放 11 次，最后得到球的总数一样。难道不神奇吗？</p>
</p>
如果把两次放入的球都排成长方形，能看出 11×23 和 23×11 是对同一个数量的两种计数方式，一种是竖着数，一种是横着数，得到的结果应该一样。同样，一堆球的数量不会因为旋转 90 度而改变。</p>
以上的观察意味着整数乘法的交换律：所以 3×5 和 5×3 确实不一样，但交换律保证它们的结果相同。从整数交换律出发，可以非常自然地引入有理数或者实数乘法的交换律。</p>
</p>
你看，小小的神奇只需要一点点解释，并不复杂。老师只要说清楚这个原理的来龙去脉，然后告诉学生，由于交换律的存在，按什么顺序写无所谓。实际上确实无所谓，小学课堂之外没人在乎这件事。</p>
网上的讨论基本集中在这两种写法的混用“对”或“不对”，可能丢失了问题的焦点。大家没意识到，纠结于“对不对”，标准答案到底应该是什么，已经构成了一个立场。在这个立场中，有趣的、生动的、深思的、可成长的认知过程全部被简化成一系列简单（或者复杂）的对或错。</p>
可学校一定要这样别扭地教，一方面短期的应试目标不需要学生深入理解，另一方面，很多老师也说不清这样的简单原理。这怎么行。</p>
和可交换的乘法不同，年幼心灵对理性世界的好奇探索不可交换。</p>

双重积极，制胜的唯一法则——2025年6月1日分享活动

2025-06-01T00:00:00+00:00

特别高兴大家来参加这次分享。大家可能或多或少都听说过一点——微光理科是有些不同的。但到底有什么不同？这里详细介绍一下，我们具体是怎么做的。</p>
我们对自己课程的定义是「无竞品创新高品质课程」。这个定义我们自己觉得是比较准确的，希望看完这次介绍之后，大家也会同意这样的判断。</p>
一、核心观念：双重积极</h2>
所有核心想法，实际上可以用一句口号来总结：</p>

作为同学、作为家庭，如果你想从教育竞争里脱颖而出，你必须做到「双重积极」。</p> </blockquote>
哪两重？第一重是劳动的投入——传统意义上的努力、花时间、专注，这一重大家非常熟悉。第二重是创造力的投入——这一重更隐蔽，但也更稀缺，是优胜的唯一秘诀。</p>
下面分别展开。</p>
二、第一重积极：劳动投入</h2>
传统意义上，老师和同学互相叮嘱的那些——「你要努力」「你要花时间」「你要专注」——属于这一重积极。这部分内容不需要再多说，不管是同学还是家长应该非常熟悉。但来具体看一下现在的现状是什么样的。</p>
2.1 教育参与三方模型</h3>
教育实际上有三方参与者：</p>

主观方：学生 + 家庭——提供学生投入；</li>
客观方：教师 + 学校——提供教育质量（教育的实质内容）。</li> </ul>
教育不管是语文、英语还是数学，都有自身的教育内容——所以客观部分是由教师和学校构成的。这两块的交集（主观投入 × 客观质量），就构成了学生的竞争力。</p>
2.2 理想状态 vs 现实状态</h3>
理想状态是主观投入与客观质量交集较大，学生竞争力最大化。大家可能觉得这个交集画得还是太小——但实际上做到这样已经是比较理想的了。</p>
现实状态是：原来要负责教育内容的那一部分——教师和学校——把很大的精力都挪到了「鞭策学生」和「鞭策家庭」上面。现在对同学来说，鞭策他努力的除了自己，还有家长、老师、学校。学校通过各种排名、甚至根据排名换座位、换班级等方式来推动学生更加努力。但教师和学校的主要职责本来是教一门一门的课，当他们把过多注意力放到「鞭策」上之后，本来应该负责的那部分内容就开始收缩了。</p>
这也是许多家长学生可能感受到的现象：好像学校不教什么，或者教的比以前要少一点。</p>
结果是：现在主观这一块膨胀得特别大，因为客观那一块缩减了。所以学生的竞争力不仅没有因此变大，反而因客观部分的缩减而变小了。极限情况是：客观这一块缩成零时，大家都在努力、所有人都在努力，但什么都不学——竞争力就消失了。</p>
2.3 一段让人想打 110 的对话</h3>
关于「努力」这一层积极，实际上不需要我说——同学、家长、老师都知道。从小到大，我们都天然知道这个道理：你想把事情做好，必须投入时间、投入精力、投入优先级——把这件事情放在最高的优先级上。</p>
但如果过度强调这一点，也就是把所有问题的答案都归结到「你再投入多一点」上，这件事情实际上是不成立的。</p>

「你不是跟我说，我只要投一万块钱，三个月之后就能得到一万五千块钱吗？怎么我没拿到这个钱？」</p>
「你再投一万，再投一万你就一定能拿到这个收益了，再过一个月把总共 3 万块钱给你。」</p> </blockquote>
大家听了之后是不是想打 110？但你有没有意识到——孩子跟家长的对话往往也是这样：</p>

「你不是跟我说，我努力学习、投入时间就可以考得好吗？但我现在已经努力一个星期了，没考好啊，怎么回事？」</p>
「你再努力一个星期，下次一定会考得好。」</p> </blockquote>
这两种对话是类似的。问题在于：「你再努力一个星期」这种回答没有实质内容。</p>
所以对家长来说，需要给孩子更加实际的引导——但这种东西不是简单说说就有的。我们成年人自己也知道，很多成年人可能也没有想过太多这方面的问题，因为讲的就是学习——「你努力就可以好」——但实际上没这么简单。</p>
三、第二重积极：创造力投入</h2>

高效、稀缺；优胜的唯一秘诀。</p> </blockquote>
在我们看来，更重要的是第二重——创造力的投入。这里的「创造力」是一个浓缩说法，它包括我们的情绪、智慧、注意力，以及所有这些综合性的投入。</p>
这种投入是稀缺的——不是你今天花多少时间、明天花多少时间、以后再花时间就能达到的。这一重投入，对教育的三方参与者（学生、家长、教师）都有要求。</p>
3.1 对学生的要求</h3>
同学的要求当然不低。因为我们现在讲的教育还包含一方面——参与竞争。到这个时候，所有人都需要回答一个问题：我凭什么在竞争中脱颖而出？对学生来说凭这两点。</p>
认知：理解所处环境、自己的现状和目标</h4>
同学要尽量理解自己——理解自己的位置（我现在在哪？）、理解周边环境（我所处的环境是什么样的？）、理解目标（我要去哪儿？）。</p>
打个比方：</p>

比如我现在在这里，目标是远处的一座山——紫金山。我现在和目标之间隔着的那一部分，就是我所处的环境。我要考虑：今天是节假日，交通怎么走，走哪条路径？到了山脚下之后我要徒步了，需要做什么样的准备？预期大概要耗费多少时间、多少体力，才能达到目标？</p> </blockquote>
这点可能对低年级的同学来说要求有点高——但凭什么呢？这就是一个很确切的依据。你们现在可以没有这些，但总是要有的——也许一年之后、三年之后、五年之后，只要能有这种认识就好。</p>
系统工作：规划下的有序工作流程</h4>
认清所有这些之后，学生就要做一个系统性的工作——规划自己的工作流程。比如你了解到自己某个问题已经花了一个小时、两个小时还没解决，那下面应该怎么办？是暂时绕过它？还是先解决一些更简单的、但与它有关的问题？计划也许是一周之后通过某个系统工作把它给解决？对同学来说，这个系统工作一定是需要有的。</p>
3.2 学生的收获</h3>
如果同学可以做到上面两点，会获得两部分的收获：真正的兴趣，与积极竞争的乐趣。</p>
学科兴趣其实有两类。A 类是成就感式的兴趣——来源于「我能把一件事做好」的乐趣。我经常见到一些同学说「我喜欢数学」「我喜欢物理」，问他为什么喜欢数学，回答往往是「我数学好」或者「数学对我来说不费劲，觉得很轻松」。它不和学科本身直接相关——不是学科的乐趣，而是「把事做好」的乐趣。</p>
但学习是一个很长期的过程——对在座的同学来说，不算大学，整个中学还有五年、六年——很难凭着这种成就感一路支撑。如果某一门原来学得轻松的课，到了某个阶段不轻松了——是不是我的兴趣就没有了？确实会有这种情况。可能小学很喜欢数学的同学，到了初中、高中就不喜欢了——因为数学对他来说原来一眼能看出来的东西，现在看不出来了，乐趣就消失了。</p>
B 类是理解式的兴趣——从真正的理解中获取对学科本身的乐趣。发现的乐趣、思考的乐趣，这些是学科本身给你的。哪怕我现在成绩并不是很好，但这个乐趣它一定在那。对一个长期学习过程来说，越到后面越明显。</p>
第二部分是积极竞争的乐趣。如果通过理解的方式取得成绩，你的竞争优势是盈的（正向的），因为它是创造性的竞争——不是「比别人花更多时间」那种。别人学五个小时我学六个，别人六个我学七个——这样比别人花更多时间、费更多劲得到的优势，很难建立自信。但如果是「我理解了目前的状况，据此规划了工作流程」——这种方式下，你就知道下一次哪怕在一个完全未知的领域，再和别人竞争、重复这样的工作模式，我一定是可以做好的。</p>

很多时候大家看到的「成功的同学」有两种：一种不太清楚自己为什么学得好；一种很清楚自己为什么学得好。往往后一种，越到后期后劲越足。</p> </blockquote>
3.3 对家长的要求：理解和判断</h3>
第二重积极对家长的要求实际上是挺高的。对这个年龄的同学来说，家长往往是把握大方向的，所以需要家长有比较深的理解和比较好的判断。</p>
第一，差异化意识。你会看到成功的学生都有一些共性的东西：他们都努力、都有条理、都习惯好。但家长更应该意识到——每个成功的学生都是差异化的。</p>

每个成功的学生之间的不同，往往才是他们学得好的真正原因。共性的那个部分是基本的，但更重要的原因是那个差异化的、你没有看到的部分。</p> </blockquote>
第二，更宏观地理解教育的目的和社会现状。家长需要更宏观地去理解这些东西——同学不需要理解，但家长要知道：学校的功能肯定是两块——教学生 + 筛选学生；这几年社会发生了比较剧烈的变化——后面的机会、竞争激烈程度都在发生极大变化；家长一定需要把握这些东西。</p>
第三，真正理解孩子的需求。跟家长接触中，家长经常有这样的疑问：为什么我的孩子不愿意努力一点？为什么他比较懒？为什么他做事情总是马马虎虎？为什么我跟他讲的非常简单的道理——「你不花时间怎么能学得好」——他不理解？</p>
家长对孩子这方面的要求「你要努力、你要投入时间」这种非常简单的正能量，它到底有多少实实在在的内容？真的是因为孩子懒吗？我们可以想一想前面那个「你投一万、我下个月给你一万五」的对话——孩子的感受可能就是这样的。</p>
第四，教育是父母和孩子共同的成长。教育不仅是孩子在迅速成长，父母也在迅速成长。比如在座的家长，你们肯定觉得自己和十年前很不一样——特别是关于教育的看法。但你们更要意识到，五年后、十年后的你们会更不一样。所以需要大家有长周期投入的预期。这不是说「我这个星期或这个月做一个什么亲子关系调整，或者设定一个什么初期目标，然后就一定会怎么怎么样的」。</p>
第五，对教育资源有判断力。一个家庭从小到大可以接触到的教育资源非常多，大致分两类：非盈利的、盈利的。从选学校（公办学校 vs 民办学校）到课外课程，选择非常多，但里面一定是有区别的。从海量资源里选择好的、适合自己的，非常需要判断力。</p>
3.4 对教师 / 教学材料的要求：教育有其实质内容</h3>
教育这个东西，跟造汽车等其他产品一样，一定是有其实质内容的。不存在这种情况——「我不懂数学，但我数学课可以教好，让他们好好练习，最后把数学教好」。这种故事在几十年前可能会听过，但举个例子：</p>

运动员的训练。现在的运动员和 50 年前的运动员的训练，那就是天壤之别。对同样一批运动员，实施现代训练 vs 实施 50 年前训练，平均水平会区别很大。当然这不排除 50 年前会有一些运动偏才，不需要特别科学的训练也可以有很好的成绩——但这两者是不矛盾的。</p> </blockquote>
教学材料是有好坏之分的——并不是说你随便拿一本书，钻研透了我就一定可以学好。真的不是这样。好的教学材料——特别是对这个年龄段的同学来说——一定要从原理出发。大家会看到大量不从原理出发的材料；从原理出发的材料，大家能接触到的几乎没有。</p>

「不从原理出发」不是一种主动选择，而是作者能力不足的体现。我相信没有老师不想从基本原理出发，但你能不能从基本原理出发把问题讲清楚——这个不一定。</p> </blockquote>
举两个反面教材，截自一本很著名的教材：「老鹰抓小鸡模型」，「胖瘦模型——见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰」。这种童谣口诀式的东西，给十四五岁、初二初三的同学，用来解数学题——这样可以吗？</p>
第一个问题，对自己不够有信心——不能讲一个道理让同学理解，而只能告诉你一些口诀「你就这样做就行了」。第二个问题，对同学也是不尊重——有能力的同学是可以理解这些东西的，但是「我不让你理解，你记得这个就行了」。</p>
这本书的宣传口号大意是：「学完这些模型之后，你看到中考压轴题，就像透明的一样可以一下子看透」。且不说实际上能不能做到——我相信做不到。也许有同学通过这些模型在中考考了高分，但大家可以想一想：到高中怎么办？高考考这些吗？首先高考不考这些；其次，如果你这样去总结图形——高考就不是几十个模型了，是几百、上千个模型；而且这样实际上你并没有进行学习。</p>
对教育者来说，我教你东西，你上了课之后是一定要有「教育实质」的——也就是说学生一定要真的理解一些东西，而不是说「我会做某些题」。缺乏教育实质的学生，他在后面缺乏的这一块，才是让他填补的——也就是他欠缺的空间。到了高中之后，这一块空缺的问题会很大。即便有些特别少的情况，有些同学高中也过关了、大学也进去了——空的这一块还是要填补的。所有这些教育实质，不是这样可以填补的。</p>
四、我们是什么样的教育者</h2>
简单介绍一下我们的团队：</p>

活跃的大学老师——我们都是现在的大学老师，有比较好的教育背景，这些其实并没有那么重要。</li>
真正理解学科——更重要的是，我们真正理解这个学科：这个学科的全景到底是什么样的；学科比较基本的逻辑是什么——应该先学什么、再学什么；怎么把基础打好；什么东西是「掉在半空中的」，你要从下面慢慢达到那个基础点；每个基础点之间有什么关系。所有这些我们都非常了解。</li>
对教育和教育现状有深刻认识——对教育特别有兴趣，平时会讲好多关于教育的内容，进行一些思考。教育现在的情况跟 80 年前真的非常不一样，对老师来说一定要有这种认识。</li>
着眼「教育」而不是「培训」——这两者真的不一样。培训的目标可以非常明确——过某一次考试，只要让你过了这次考试，其他的不管。教育的内涵很多——要通过合适的步骤、科学的方法，最后把学生的学科能力，包括整体的其他能力，建立起来。</li>
对长期结果负责。</li> </ul>
五、实现路径</h2>
5.1 从学科源头出发的知识体系</h3>
我们不去强调「这个知识点」、「那个知识点」——我们强调知识点和知识点之间的联系。所有的知识点最后变成一个网之后，你心里面应该有的是这些知识点之间的关系——这个东西就构成了知识本身。如果只是一些离散、孤立的知识点，这门课可能还没有太学好。</p>
当前我们采用的最好的教学材料：</p>

Kiselev's Geometry</em>，A. Kiselev</li>
Algebra</em>，I. M. Gelfand 和 A. Shen</li>
Arithmetic</em>，P. Lockhart</li>
Fundamentals of Physics: Mechanics</em>，R. Shankar</li>
How To Solve It</em>，G. Pólya</li> </ul>
我们不仅把数学当成一个整体学习，数学和物理也强调它们之间的关联和融合。重要的不是「这一块是什么三角形，那一块是不等式，那一块又是一个什么函数」——内容可能很多，但你要意识到它们之间都是有关系的。</p>
举个例子：根号。历史上为什么要发明根号？根号实际上一开始是从几何里产生的；从几何开始，后面又关系到二次方程的根；然后才会有现在大家看到的学的这个幂。这些都是有关系的。</p>
5.2 深度投入的课堂：学习是接收更是输出</h3>
看一眼我们日常的线上课屏幕截图，肯定都是实时讨论：所有东西都从原理出发；所有同学的问题我们一定是要现场去解答的；重要的不是「这道题怎么做」，而是「你该怎么理解这些东西」；每个同学都一定要求来参与课堂、发言；课堂绝不是「我输出、你好好记住」——如果这样的话，课堂肯定是不够的。</p>
课堂上会不断在以下等主题之间建立连接并现场展开：因式分解、等比数列求和、竖式除法、斐波那契数列、相似三角形。这些内容之间是有联系的——我们会根据同学的实际情况动态调整。</p>
启发式的原创作业——这里给一个很典型的例子，新初一去年暑假的作业。我们会从不同的进制出发。对初一的同学来说，他们真正要开始学习「代数」了。但小学的时候学了好多算术——「五七三十五」「九九乘法表」背得很熟练。关于这些数字的知识大家有时候是太熟练了，以至于造成：「到底什么是原理？到底哪些是原理导出的事实？」——大家会搞不清楚、搞混。</p>
所以我们一开始对新初一同学的设置是：把他们放到四进制环境里去。</p>

在四进制里，乘法表变成「三三乘法」。所有运算、所有性质（加法性质、乘法性质、分数等）——大家熟悉的那些东西，放到四进制环境里就不那么熟悉了。但这样可以帮助你们更好地理解加法、乘法这些代数的基本原理。</p> </blockquote>
一个有意思的小插曲：当时去年暑假所有东西都用四进制表示，但我忘了年份「2024」应该习惯性地用四进制表示。后来一位同学找我说「这里没用四进制」——所以后来我把 2024 也划掉，全用四进制。</p>
我们很多作业都是这样的——启发式作业，在最深处要求同学从源头去理解问题。</p>
5.3 极致的应试准备</h3>
务实和理想在很远处是相连接的——我们会做极度充分的应试准备，在这里正好给同学关于创造性投入一个很好的实例。之前同学的产出已经充分说明了这一点。</p>
六、总结：五件工具</h2>
最后把整套方法总结为五件工具：</p>

从源头理解——每个概念回到「为什么会生出来」，而不是只给结论。</li>
结构化知识点——知识点之间的联系比知识点本身更重要；深度必须有广度支持。</li>
表达——让学生解释；会做题不够，要「会解释」。</li>
低冗余高质量作业——少刷题、多回顾和总结。</li>
三层映射——源头理解 → 题型结构 → 应试竞争映射（让「理解」落到「结果」上）。</li> </ol>

二年级小学生的非常规数学课：「平面国（Flatland）」课程报告

2025-01-07T00:00:00+00:00

最近有低龄同学的家长希望更多了解我们和我们的课程。我们现有课程主要面向6-9年级学生，但我们曾给低年级同学开过一门很有意思的非常规数学课。这门叫作『平面国』的课，有些数学，有些文学，有些历史，有些哲学，把这些要素连接起来的纽带是没有年龄限制的自由想像。我想这正是低年级小学生可以投入这门课并从中得到很多乐趣的原因。</p>
下面是当时的结课报告。</p>
对象</h3>
2-4年级小学生</p>
课程概要</h3>
「平面国」是一部以几何为背景的幻想小说，由A. Abbott写作于维多利亚时期。「平面国」的第一部分介绍了作者所生活的二维世界的基本设定，包括自然风物和社会关系。第二部分是作者拜访一维国和三维国的两段经历，以及作者精神上相应剧烈的转变。「平面国」可以有很多不同层次的解读，作为低龄学生，他们对书里新奇几何世界的各种物质要素的直观感受更为强烈。而隐于其下的社会关系、等级制度、对真理的追求等他们目前并不完全理解的思想要素，将以点滴渗透的方式进入他们思维底层，产生长久且基础的影响。</p>
课程目标的达成（打勾为已较好达成项目）</h3>
科学目标</h4>

基本几何对象</p>

几何图形的认识

三角形、四边形、五边形、六边形、圆等几何图形的直观认识</li> </ul> </li>
角度

角度的基本概念</li>
角度大小的比较</li>
角度的和</li> </ul> </li>
三角形

等腰三角形</li>
等边三角形</li>
三角形边和所对角的大小关系</li> </ul> </li>
多边形

多边形的内角和</li>
多边形的外角和</li> </ul> </li>
圆

圆是多边形的极限</li> </ul> </li> </ul> </li>

维度</p>

投影

二维世界，看见的对象是一维的</li>
从二维国看三维国的球</li>
三维对象的边界是二维的</li> </ul> </li>
维度的确定

维度多少取决于需要几个数确定一个地点的位置</li>
将维度与生活实例相联系</li> </ul> </li>
从低维向高维的转变

点的运动形成线</li>
线的运动形成正方形</li>
正方形运动形成立方体</li>
「向上，而不是向北」的含义</li> </ul> </li>
图形在不同维度的性质

线段、正方形、立方体边界数量的规律</li>
线段、正方形、立方体顶点数量的规律</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul>
思维目标</h4>

基本思辨</p>

外延和内涵

外延和内涵的基本概念</li>
与生活中概念的联系</li> </ul> </li>
价值判断

雾在平面国的作用来源于它的「缺点」</li>
理解评判好和坏的相对性</li> </ul> </li>
认知的局限

从一维国和三维国的对比，意识到每个人认知的局限</li> </ul> </li> </ul> </li>

个人与社会的关系</p>

对社会等级的认识

社会等级是主观的</li>
社会规则与社会等级</li> </ul> </li>
真理的认知与传播

正确不等于被接受</li>
理解议会禁止传播真理的逻辑</li> </ul> </li>
对多样性的理解

我们生活中的「不规则图形」</li>
对待与我们不一样事物的态度</li> </ul> </li> </ul> </li> </ul>

逻辑基础

2023-07-03T00:00:00+00:00

</p>
课程简介</h4>
自我矛盾是痛苦的来源之一，数学家的痛苦随着近几十年逻辑理论的发展减轻不少。不仅数学，现代逻辑学在计算机科学中也有广泛的应用。因为无处不在的应用，对基本逻辑的学习不仅必要，而且「经济」。通过这门课的学习，学生将了解基本逻辑思维的范式，清晰因逻辑结构产生的复杂性。</p>
学时</h4>
75 学时（3 学时* 25 次）</p>
内容</h4>

命题逻辑的基本概念</li>
证明策略</li> </ol>
课本</h4>

How To Prove It, Daniel J. Velleman</li> </ul>
建议学生程度</h4>
十年级</p>

力学 II

2023-03-15T00:00:00+00:00

</p>
课程简介</h4>
作为力学 I 的延伸，力学 II 将讨论更为深入的力学概念，和电磁学的基本理论。在对这些物理概念的辨析中，学生将了解如何建立物理直观，以及物理和数学的联系与区别。</p>
学时</h4>
150 学时（3 学时 * 50 次）</p>
内容</h4>

转动系统和角动量</li>
谐振子</li>
静电场</li>
电磁感应</li> </ol>
课本</h4>

Fundamentals of Physics: Mechanics, Relativity, and Thermodynamics, R. Shankar</li> </ul>
建议学生程度</h5>
十年级</p>

三个部落的计数故事

2023-02-18T00:00:00+00:00

Paul Lockhart 的《Arithmetic》中讲述了手语部落、香蕉部落和树皮部落的计数故事。他们用的语言大概是这样的。</p>
手语部落</h2>
</p>
香蕉部落</h2>
</p>
树皮部落</h2>
</p>
我们讨论之后，也发明了自己的计数方式。试试下面的问题。</p>
</p>

少有人走的路——为什么内卷反是机会

2022-12-08T00:00:00+00:00

目前标准的学校理科教育从能力到应试都极其低效，学生的理科教育应该从头重做。这是显然的事实，而非偏见，「低效」的评价已经很温和，也许「副作用」更准确。但这样的环境反是机会，希望下面的对话能说明这个观点。</p>

提问的是一个理性家长。</p>
问：你强调理科教育低效，文科教育没有这个问题吗？</em></p>
答：因为我理解理科教育的方方面面。文科也许没问题，也许问题更大，我不确定。</p>
问：你说学校教的理科应该重新学，理科是科学吗？</em></p>
答：是。</p>
问：科学是客观的吗？</em></p>
答：是的。</p>
问：既然是客观的学科，讲授的是客观的知识，难道学校教的知识是错的？</em></p>
答：学校教的知识基本是正确的，只有很少量客观错误。</p>
问：我知道你要说什么，不就是关于启发和兴趣的那些问题么，老生常谈了。务实地说，最重要的确实是分数。</em></p>
答：「什么是重要的」这个问题属于价值观，我们暂时不讨论它。把「分数优先」作为我们讨论的前提非常合理。</p>
问：谢谢理解。如果这样，你怎么能说学校教育全部低效，衡水中学的教育低效吗？</em></p>
答：衡水中学是全省选拔，学生资源是它的巨大优势。在这个前提下，以一种过度透支、孤注一掷的训练方式去完成一个阶段性目标，当然是低效的。这些水平的学生可以用更合理，对他们未来更积极的方式达到同样目的。历史上成功的精英学校全然不是这样。即使我们收缩视野，了解一下前苏联的数学专门学校，或者前些年国内的一些尝试，也会看到取得考试成功更合理高效的路径。典型的例子是教培时代还未到来前，我的外国语学校往事</a>，和 从中国最好的中学出发，他们的人生十年经历了什么？</a>。这种例子还很多。</p>
问：你说的这些我能想像，但那是在教培时代前，内卷发生前，现在的情况完全不一样。</em></p>
答：现在的环境确实和以前有区别，但这不代表打不过只能加入。衡水中学式的内卷真有多难吗，学校的管理者和老师投入的机械与体力劳动量，远超他们投入的思考和智慧。某种意义上，目前内卷的环境反而会给愿意思考的人提供捷径。</p>
问：你说的都是学校教育如何不好，批评当然容易，你有更好的路径吗？或者说，为什么你的路径更好？</em></p>
答：微光理科主页上的所有内容都在回答这个问题。</p>
问：似乎有道理，实际上，我很希望被你说服，但我的思路还是比较混乱，让我再想想。</em></p>
答：我也再想想，答案总有可能变化。</p>

解题策略

2022-03-05T00:00:00+00:00

</p>
课程简介</h4>
如何解题是一个同时困扰初学者和职业数学家的问题。这门课将告诉学生解题不止需要熟练和投入，还需要进行策略性的思考。而这种策略性思考，和通常的「解题技巧」并不是一回事。通过这门课的学习，学生将体会「智力」和「智慧」的微妙区别，学习如何更成熟地解决问题。</p>
学时</h4>
75 学时（3 学时 * 25 次）</p>
内容</h4>

解题的一般策略</li>
策略实例</li> </ol>
课本</h4>

How To Solve It, George Pólya</li> </ul>
建议学生程度</h4>
十年级</p>

代数 II

2022-01-07T00:00:00+00:00

</p>
课程简介</h4>
掌握三角函数的基本性质和应用，了解三角函数作为一种「数学工具」的意义。初步了解函数的抽象意义，以及函数图形的一些一般性质。掌握基本的解析几何，初步了解代数和几何的联系。</p>
学时</h4>
105 学时（3 学时 * 35 次）</p>
内容</h4>

三角函数</li>
函数和图形</li>
解析几何初步</li> </ol>
课本</h4>

Trigonometry, I. M. Gelfand and M. Saul</li>
Functions and Graphs, I. M. Gelfand, E. G. Glagoleva, and E. E. Shnol</li>
Basic Mathematics, Serge Lang</li> </ul>
建议学生程度</h4>
至少九年级</p>

力学 I

2021-05-23T00:00:00+00:00

</p>
课程简介</h4>
牛顿力学是现代物理学的起点，也应该作为学生学习物理的起点。这门课从知识结构而不是知识点出发讲授牛顿力学的基本理论。在讲授牛顿力学前，我们会引入必要的基础知识，如静力学等。</p>
学时</h4>
75学时（3学时25次）</p>
内容</h4>

静力学</li>
运动</li>
牛顿定律</li>
能量与守恒律</li>
动量</li> </ol>
课本</h4>

Fundamentals of Physics: Mechanics, Relativity, and Thermodynamics, R. Shankar</li> </ul>
建议学生程度</h4>
九年级</p>

几何 II

2021-04-23T00:00:00+00:00

</p>
课程简介</h4>
这门课的主题是解决几何问题。通过多个专题的训练增强学生对几何的具体感受，培养学生直观思维的能力。许多巧妙的几何问题将激发学生一方面对几何，另一方面对思维方式的兴趣。课程有难度。</p>
学时</h4>
225 学时（3学时 75次）</p>
内容</h4>
十余个深入的几何专题，包括三角形、圆、和逆几何。</p>
课本</h4>

Geometry Revisited, H. S. M. Coxeter</li> </ul>
建议学生程度</h4>
从八年级开始</p>

代数 I

2021-01-17T00:00:00+00:00

</p>
课程简介</h4>
除了学科内容，本课程的主要目的是帮助同学完成从小学向初中的转向。首先是学习内容的转向，小学数学以算术为主，强调对数字的认识和运算。初中开始学习代数，学生会第一次接触符号运算以及抽象的运算规则。学生需要在思维方式上有所成长，以应对内容的变化。抽象思维对这个年龄的学生而言，一开始可能是相当别扭的。理想情况下，我们希望比较和缓地引导学生完成这种转向。从这个目的出发，课程内容的编排将比较灵活，尽量保持课程的趣味性。</p>
本课程将从直观实际的角度理解数域从自然数->整数->有理数->实数的扩展过程。掌握一些基本的代数工具，如多项式和数列等。理解函数的直观概念，以及方程与函数的关系，可以用相关概念和方法解决实际问题。通过对这些基本数学概念的学习了解代数的思考方式，了解抽象的能力与必要。材料上这门课覆盖了普通学校初中绝大部分代数内容。</p>
学时</h4>
225 学时（3 学时 * 75次）</p>
内容</h4>

数和数的运算规则</li>
二项式展开</li>
多项式和数列</li>
一次方程</li>
二次方程与二次不等式</li> </ol>
课本</h4>

Algebra, I. M. Gelfand and A. Shen</li>
Basic Mathematics, Serge Lang</li> </ul>
建议学生程度</h4>
从七年级开始</p>

几何 I

2021-01-10T00:00:00+00:00

</p>
课程简介</h4>
这门课有三层目标：</p>

熟悉基本的几何对象，如三角形和圆，熟悉和掌握这些几何对象的性质。</li>
以欧几里得几何为实例了解一个逻辑体系的建立过程。</li>
通过很多有趣的具体问题了解几何的思考方式。</li> </ol>
材料上这门课覆盖了普通学校初中几何全部内容。</p>
学时</h4>
225 学时（3 学时 * 75 次）</p>
内容</h4>

基本几何对象</li>
三角形</li>
平行四边形</li>
圆</li>
相似与面积</li> </ol>
课本</h4>

Kiselev's Geometry Book 1, A. Kiselev</li>
Geometry in Problems, A. Shen</li> </ul>
建议学生程度</h4>
从六年级开始</p>

数学 0

2021-01-04T00:00:00+00:00

</p>
课程简介</h4>
数学是什么？数学是数字也是图形，是汗水也是灵感，是规则也是想象。这门课将通过一系列精心选取的问题，带初学者领略数学世界风光的同时，也体会劳作的必要。可以把这门课理解为一次徒步之旅。</p>
这门课的目标是将学生对数学的认识从枯燥的解题转变为有意思的感性认识。包括的主要内容为计数法、数的运算规则、以及最简单的几何直觉。</p>
学时</h4>
75学时（3学时*25次）</p>
内容</h4>

关于数</li>
关于图形</li>
关于猜</li>
关于抽象</li>
排列组合初步</li> </ul>
课本</h4>

Arithmetic, P. Lockhart</li>
直观几何，沙雷金</li> </ul>
建议学生程度</h4>
五年级和六年级</p>