暑假抢跑，恰恰输在起跑线上——2026年6月21日分享实录

2026-06-23

暑假的价值不在抢跑，而在调整方向、连接知识的源头。从教育与制造的区别，到数学与物理的联系、幂的现场示例，以及不同年级的暑假转向。

本文为二〇二六年六月二十一日分享实录，六月二十三日首发于微信公众号「微光理科」。正文及公式保留原文，仅调整网页排版。

开场

我们按约定的时间准时开始。很高兴大家来参加这次分享。

我不太确定大家此前是否了解我们，我想多半是不太了解的。也许有朋友听说过，我们和其他机构有些不同——有人甚至会说很不同。但归根到底，如果只看最后要做的那件事，我想大家的目标其实是一样的；真正不同的，是实现它的方式和路径。今天想聊的，正是这些不同到底在哪里。

这次分享的主题是怎么样学习。大家可以翻看我们之前的公众号或其他社交媒体主页，会看到我们做过别的主题。现在正好临近暑假，所以今天就具体谈一谈：暑假应该怎么学。

一、暑假的意义：它是调整方向的机会，而不是抢跑

暑假很重要，这一点大家应该都能直观地感觉到。

对家长来说，暑假的重要性在于它像一个间隙，像一段可以重新洗牌的时间。对同学来说，它更实在的意义是：至少可以稍微歇一歇。

暑假和平时的不同，主要是一种方向性的区别。尤其对努力的同学来说，暑假的强度未必比学期低，真正改变的是方向。学期里我们一直在往前走，因为有各种进度的压力：一是课程进度，二是课程学得到底怎么样——而这要靠一次次测试来体现。因为所有东西最后都落在测试上，年级越高，压力越大；到了八年级或更高，常常是一个测试接一个测试，压得人喘不过气。

而暑假，这种进度压力可以暂时放一放。至少在表面上，往前赶这个方向先停了下来。这一停，就让暑假有了自主性：你可以自己决定方向，自己决定要做点什么。

所以我们认为，暑假的价值主要不在于继续往前赶。既然有了这样一个机会，不如想一想要做哪些调整，尤其是哪些策略上的选择。在学科上，应当稍微停一停，回头看：我在学期里学了这么一大堆东西，有没有办法用比较少的几条线索把它们串起来？也就是说，怎么去找到整个知识体系的源头，并努力连接它。

如果说暑假的目标就是找到源头，这要求未免太高。我们真正要做的，是努力去连接源头——做这样的尝试、下这样的功夫，这件事本身一定有价值。后面我会用一个具体例子说明：同一个枯燥的东西，你当然可以靠死记第一、第二、第三这几个公式来掌握；但你也可以去理解这几个公式背后的基本原则，而一旦理解，你会发现这些公式其实根本不需要记。

二、为什么抢跑反而会输在起跑线上

我得坦白，我们这种思路其实比较小众。因为大部分同学的想法是：暑假继续往前。如果把学期比作起跑线，那暑假干的事情就是抢跑。

而我要说的恰恰相反：如果你这样做，你已经输在起跑线上了。

什么意思？明明我在暑假多跑了五十米、一百米，怎么反倒是输了？问题出在你如何看待这样一条长线的教育。

不管你想冲刺哪个近期目标，你真正的终点，绝不可能是下学期开学第一次小测验。一旦把终点拉到那么近，你就会发现：这件事即便不是一场马拉松，也是一场很长的长跑——也许十公里，也许三十公里。

对这样一场长跑来说，你在暑假先往前跑五十米、一百米，对全程到底有多少意义？更何况，有的同学还没意识到：在大家抢跑的时候，有人其实还坐在轮椅上，有人还拄着拐棍，有人的跑姿根本就不对，却也急着往前冲了。

这种时候，假如你眼下还拄着拐棍，或者哪里有伤，或者跑姿没练好、连一些运动生理学和饮食上的基本要求都不懂——那你就不该急着先去跑。在暑假里把这些先修正过来，所谓提前做一点准备，这有什么错呢？

三、教育能不能像拆解产品一样被拆解

有一种很流行的逻辑是：把马拉松拆成分段目标。“难道一场马拉松，不就是四百多个一百米吗？”于是把它拆成四百多段，每一小段都优质地、尽全力地完成。在现代管理学里，把大目标分解成小目标，确实被认为是很正确的做法。

这个逻辑看上去没错，但藏着一处偷换：你可以把马拉松拆成四百多个一百米，但你不能把它拆成四百多个一百米短跑。如果要拆，你心里一定得有这个意识——它绝不是那么简单。

这就像那个笑话：怎么把大象放进冰箱？分两步，第一步把大象塞进冰箱，第二步把门关上，目标似乎就完成了。又像一个常被讲起的故事：一个孩子每天抱着一头小羊跳过一棵小树，日子一天天过去，他在长大，小羊在变重，小树也在长高，他似乎总能跳过去；半年、一年后，树长高了，他的跳高也练成了。可我们都知道，这样的简化是不成立的——跳高根本不是这么回事。

所以，如果你把目标设成开学某一次考试，那你现在多跑的五十米当然占优，短期看来抢跑确实有好处。但把眼光放长一点——通常是到了高中——代价总是要结算的。

这两种看法的根本分歧，其实是两种教育价值观：教育到底是不是一种可以拆解的产品？

四、拆解思维的蔓延：从餐饮到亲子，越往后越不对劲

家长在社交媒体上，如今会遇到大量帮你拆解一个产业的博主。比如餐饮：你问这个能不能做，博主就把它拆成几个指标——品类是什么、成本和效率如何、品牌价值多少——拆完之后，常常在五到十分钟内就告诉你能成还是不能成，不能成又该怎么调整。

这种看法，本质是从产品经理的视角去拆解一件事。问题在于，这套思路正不断地往外蔓延。

现在也有大量亲子关系博主在做同样的事，逐个指标地拆。先让你判断孩子属于哪个品类，给他贴标签——A 娃、ADHD、文科还是理科、自信还是不自信；再算成本和效率，也就是这样的孩子适合学什么、怎么学、选什么专业，把成长路径规划出来；最后落到品牌，也就是选哪所小学、哪所中学，这些品牌能带来怎样的加持。再往外，还有人把这套产品思维放进更纯粹的情感里。

大家顺着这条线想一想：从餐饮，到教培，到亲子关系，再到亲人之间的感情——越往后，越觉得不对劲。我们是不是真该把这些都当成产品，去做数字上的衡量？

与此相对，还有另一种价值观。把品类、成本效率、品牌这些拆出来的东西全部去掉之后，还剩下重要的东西吗？如果你认为剩下的——比如成长、信心、独立——才是重要的，那它就是另一种价值观。

一旦谈到价值观，价值观这东西在很大范围内是中性的。这不是说有没有坏的价值观的问题，而更像你选择朝哪个方向走，就如同内向还是外向，本身并无好坏。

但落到教育上，这两种价值观对应着两种立场：左边是制造，也就是教培；右边是培育，也就是教育。你是想做制造，还是想做培育？

做培育，对所有参与者的要求都更高。这里至少有三方：学生、家庭、老师。它的难处不在于听起来有点虚、不可量化，而在于——家长自己心里清楚——真要让孩子有所成长、建立信心、变得独立，绝不是打几个勾就能解决的。

五、现场互动：被磨灭的兴趣与好奇心

家长： 我今天来，主要想听右边这一端、也就是家庭这一端的东西。我想知道，一位老师怎样才能让孩子对学习更有兴趣。大部分孩子——可能因为家长，也可能因为孩子自己——对学习、对兴趣，有可能是在被磨灭、在减少，最后变成厌烦。而有了兴趣之后，老师再带着他去探索，一开始是引导，慢慢他自己的自驱力会发展起来；有了进取心和自驱力，成长、信心、独立这些，我相信自然而然就会有。我想听听您在这方面的看法。

家长（补充）： 孩子天然是有好奇心的，大概所有孩子都有。但我感觉，随着学习的推进，孩子的好奇心反而在减少。

你其实是把所有东西都落在了兴趣上，认为只要解决了兴趣，其他便会自然而然地有。

这恰恰是现实教育中的问题之一。而且不只是兴趣——你会看到独立性、自信等很多方面，大家都不满意。但这些都是结果，不是原因。

那原因是什么？是不是可以这样解释：大家都在做产品，而没有好好做教育。

这里有一个现象值得注意：当一件事有非常多的声音在帮你拆解时，恰恰说明这件事本身是高难度的，某种程度上是无法被简单拆解的。如果真这么简单，就不会有这么多人围着它说话了。这就像一种疾病——正因为它真的难治，你才会看到各种各样的尝试，既有认真的研发，也有谣言和虚假的声明。

六、教育是一件非常专业的事：别只看主观投入

我觉得很多时候，尤其是家长，会忽视教育的实质内容。

意思是，大家太容易把教育看成一些主观的东西：老师对学生有多好、有多投入，或者家长对孩子有多好、投入了多少时间和爱。这就忽略了一点——教育其实是一件非常专业的事。

它有点像看世界杯。媒体上你看到的，多是教练如何在精神上鼓舞球员、提供那些主观的东西；但还有另一大块、而且分量更重的内容，是日常训练：怎么安排训练计划、怎么制定战术。现在的训练水平，和三五十年前已经有了很大区别。

可一换到教育，我认为这个行业如今太过强调主观意愿，而忽视了客观的教育质量。你甚至会看到，现在的教材越改越差，反不如三十年前；再往前，建国之初从苏联传统直接沿用过来的那些教材，翻一翻就会发现，教学材料的水准其实是在后退，而不是在前进。

所以应当从这里入手：就算我们有一个共同而具体的目标——比如把中考考好——要达成它，你要做的是一套系统的、有质量的训练，而不是家长拼命投入、老师拼命投入，再去抓各种各样的纪律。这是一件很专业的事，功夫要花在专业上。

为什么单靠努力加油、制定学习计划、安排每日日程往往不够？我觉得最根本的，是能力的缺乏，尤其对教育者而言。

举个例子，不知道大家熟不熟悉马俊仁，一位很有名的中国长跑教练。他是典型的靠魔鬼训练（主要是训练强度）与鞭策拿出成绩的教练。可过了不到十年再回头看，人们发现他成功的主要秘诀其实是违禁药品，而不是那种鞭策。

再看衡水中学。五年前，它几乎是绝对成功的代名词，据说一年能包揽全省百分之八十以上的清北名额。但如今，这个神话已经破灭。它真正的秘诀其实是掐尖——面向全省招生，把最好的学生集中过来。这批学生在中考时本就是全省最顶尖的，所以无论怎么训练，最后的清北和 985 都会从他们中产生；也就是说，哪怕教育做得差一点，结果仍然落在这批人身上。可一旦不能再这样掐尖，衡水升学名单质量的下滑就是断崖式的。

所以，作为教育者——我想对家长也一样——我们当然希望对一门学科有深入的理解，能从原理出发把它讲得清清楚楚，而不是靠喂养。

这里给大家看一类很典型的教辅：学而思的《几何模型》系列。它把初中几何题归纳成几十个模型——八字模型、手拉手模型、飞镖模型之类，分门别类全部归好；不仅归好，还配上口诀，甚至配视频讲解，主打套用模型，又快又准。这套书印量极大，面向的是初一、初二的学生。你想象一下：对初中生用这种方式去教，长远怎么可能好？

对老师来说，如果有能力，是不愿意这样教的。而这种教法之所以盛行，是因为它各方都省力：对学生省眼前的力，对家长和老师也省力，因为它特别容易被量化——一个模型一个模型地过，也容易看到（眼前的）效果。

所以，真想从源头去搭一套更好的体系，这其实并不是一道选择题。问题不在于我选不选择去做，而在于大多数机构、大多数老师其实做不到。瓶颈，卡在教师能力的上限上。这一点如果大家不认同，我们可以讨论。

七、我们是谁，以及我们怎么做

下面具体说说我们怎么解决这个问题，怎样去实现一套更高质的教育。先介绍一下我们自己。

首先，我们都是活跃在一线的大学老师，如今都还在学校里工作。十几年前，我们也是从这个教育系统里走出来的——算是幸存者吧。从系统里走出来，会让人更容易反思：你会意识到整个系统的效率和产出，似乎越来越成问题。

但这些还偏主观。客观方面，具体到学科，比如数学和物理，我们对学科本身有非常深入的理解。从最简单的——四则运算到底是怎么回事、九九乘法表是怎么回事、分配律和结合律究竟是什么——到物理里整个力学如何建立在牛顿三定律之上，乃至数学与物理之间的关系，我们心里都有一幅图景。这幅图景告诉我们：若想打好基础，所有这些所谓的知识点之间的联系是什么，以及该按什么顺序、深入浅出地把这套体系搭起来。

最后一点我认为非常重要：一个老师必须对长期结果负责，而不是只保证某一次考试。这里有一个看似矛盾的道理：把目标设在长期、并对长期结果负责的老师，往往反而能保住你阶段性的目标；而那种专门针对某次考试、针对性极强、甚至能押题的做法，短期结果反而更难保证。我们当年的学生，如今上了大学还常来找我讨论问题；我能看到，当初给他们的那些基础思维方式，直到现在仍在影响着他们。

八、我们用的是什么教学材料

接下来说教学材料。有一个很有意思的例子：我们现场主要是初中生，但我们整套体系最初，是从这本书开始搭起来的——盖尔范德（Gelfand）的《代数》。

那大约是六七年前的事。当时这本书只有英文版。盖尔范德是一位苏联人，后来去了美国，是上世纪最著名的数学家之一。他这本《代数》，在一些圈子里——尤其是大学老师的圈子里——非常著名，但国内知道的人很少。我把它拿来用了几年后，发现它有了中文版，是中科大的一位老师组织翻译的。他在前言里也提到，这本书是加拿大麦吉尔大学（McGill）的一位华人老师推荐给他的——在数学家、数学老师的圈子里，大家其实都知道它，只是圈外很多人不知道。他读完觉得特别好，便译成了中文。

盖尔范德其实有一整套教材，如今都已译成中文，我们实际上都在用：除了《代数》，还有《坐标方法》《函数与图像》，这是我们偏代数的部分。

几何这部分，我们用的是基谢廖夫（Kiselev）几何。我们国家从六七十年代一直到八十年代的教材，其实就是以这本书为底——它在当时太出名了，出名到几乎是全世界通用的版本。但经过这么多年的教学改革，现代教材里已经看不到它的影子，换成了另一种讲法。这本书也有中文版，由哈工大出版社出版，不过那个译本质量很差，我高度怀疑用了机器翻译；但这不影响我们，因为我们教同学，并不需要他们去读原文。

除此之外，还有一本很好的几何习题集，书名也很有意思：它不叫几何里的问题，而叫《问题里的几何》——把几何放进问题中，让它在问题里自然涌现出来。

还有这本《怎样解题》，作者是波利亚（Pólya），专门讲解题策略和那些套路。有同学知道这本书吗？大家搜一下就知道了。

另外有一块是给更高年级同学用的，今天来的同学暂时用不上。而这一本是给低年级同学的：我们曾给小学二三年级的孩子开过一次课，叫《平面国》。《平面国》是一部以几何为背景的科幻小说，里头有很多几何的东西，对低年级小学生而言是很好的几何入门；那次课我觉得挺成功。再加上一本代数的入门书，以及若干物理方面的材料（这里没有列出）。

总之，我们选用的这些教学材料，都是当前能找到的、事实上最好的，一点都不夸张。它们完全不是那种经过重新缩略、甚至有所扭曲之后得到的东西。经过这些年的打磨，它们已经串成了一套相当完整的课程体系，我们也有很好的反馈和产出。

这里其实形成了一种奇怪的壁垒：本该非常流行、广为人知的教学材料，大家反而都不知道；大家熟悉的，往往是各种教辅，而非真正讲学科本身内容的材料。

九、核心观点：联系才是重点，而不是孤立的知识点

关于怎么学数学、怎么学物理，我们有一个非常强烈的观点。

大家平时学的，是一个个大大小小的圆圈：大圆代表重要知识点，小圆是零散知识点。常见的做法是线性地、一个接一个地学这些知识点，再靠一个专题一个专题地深挖来加强——比如这一类题有五种题型，每种题型分别有什么解法。

但你真正需要知道的，是每个知识点在整个知识体系中的位置，以及它与其他知识点之间的联系。一个东西看上去也许很独立，比如根号 2，但它其实跟很多东西都相连：跟面积有关，跟直角三角形有关，跟二次方程、二次函数有关，甚至跟相似也有关。

根号 2 怎么会跟相似扯上关系？大家手头若有 A4 纸，可以试一下：把 A4 纸对折，得到 A5，形状与原来一样，只是变小；再对折成 A6，还是同一个形状——比例始终不变。这只有当长宽之比恰好是 √2 时才成立。你换一张比例为 1∶3 的纸去折，会发现一折形状立刻就变了。甚至，根号 2 还跟加速度有关联。

所以，你若真想把这套东西学会，不要孤立地深挖一个个知识点，而要知道它在整个知识结构中处于什么位置、与别的知识有什么联系。重要的反而不是这些点本身，而是把它们串起来的那些连接。

我们的观点就是：联系才是重点，而不是分离的知识点。

如果同学把知识点处理得过于局部——你一问看到根号想到什么，他立刻答根号跟无理数有关、根号里面不能是负数之类的规则——那说明这个知识点被处理得太孤立了，这门课其实还没学深、没学透。

而且要强调：你不可能靠深挖把这张网织起来。如果把那些连接都拿掉，你想单点地往深里挖，其实也挖不深。这跟打井一样：井要打得越深，上面的开口必然越大；想又浅又窄地挖出一个深坑，是非常困难、需要专门技术的。

十、数学与物理是同一件事的两种语言

秉承这套观点，我们把数学和物理放在同一套系统里学。

常规的看法认为，物理和数学的关系主要是：物理是把你的数学技能用在跟物理有关的情境里。比如物理告诉你某些量之间的关系，你便用上点到直线的距离、用上一些代数运算；再比如理解光的反射和折射，把有限的几何知识套上去就行。

但实际上，物理和数学的关系非常紧密，它们几乎是同一种内容，只是用两种语言在讲而已。比如牛顿的《自然哲学的数学原理》里，通篇都是几何图——力学，本质上就是运动的几何学。

最典型的例子其实是光学。光学不是先有数学、再有物理，而是反过来：我们先有对光的种种朴素认识（物理），才去发现与之相关的数学。

举一个同学们会遇到的问题：这是一条河，一个人从 A 点出发，要先到河边取一桶水，再把水送到 B 点，目标是走最短路径，他该到河边的哪一点取水？有奥数经验的同学和家长应该知道做法：把 A 关于河岸作镜像（对称），再把镜像点和 B 连成直线，这条直线对应的就是答案路径。

这个做法是怎么来的？它其实等价于一个物理问题：光从 A 经一面镜子反射到 B，会怎么走？因为光走最短路径，所以你只要发射一束光就行了。从这里你能看到，物理和数学的地位是可以调换的：如果同学先把它当成一个物理问题去理解，你会发现那个数学问题变得显然——它无非是把同一个物理情境换了个地方使用。

物理对数学的帮助还有很多，这里随手举一个：量纲。

同学肯定知道，1 厘米等于百分之一米。那么，1 平方米等于多少平方厘米？

现场同学： 一万。
主讲人： 为什么？怎么来的？
现场同学： 1 平方米等于 100 平方分米，1 平方分米又等于 100 平方厘米，所以是一万。

很好，这是最标准的算法。但如果学过物理、有了量纲的概念，你会发现这件事根本不用记。

平方厘米是什么意思？就是字面意思：厘米 × 厘米。而1 米又是什么？就是 100 厘米。于是：

把两个 100 合在一起就是一万，把两个厘米合在一起就是平方厘米。所以量纲这东西，你不需要记任何换算——单位就像任何一个数学符号一样，你把它们放到一起，换算自然就出来了。遇到更复杂的，比如英寸、平方英寸，道理完全一样。

量纲的直觉，还能帮你解决看似抽象的代数题。比如七年级同学可能觉得有点难、八年级是典型问题的这一类：

已知 ，，求 A、B、C 之间的比例。

如果你有量纲的直觉，可以这样想：把 A、B、C 都看成某种实际的量。这两个式子告诉我们：A、B、C 一定是同一个单位的。否则——一块钱加一块钱再减两千克，虽然形式上是 ，但能等于零吗？显然不能。所以它们必须同单位。

由此可知，最终要求的那个比值一定是个无量纲的纯数，也就是一个纯粹的比例。这意味着：重要的不是 A、B、C 的具体数值，而是它们之间的比例关系——如果 满足等式，那么 、 也满足。一旦看清这一点，你只要把 除过去，把方程改写成关于 与 的两个式子，比例就能解出来了。

数学老师当然也会教这道题，但他往往会说这是某某法（比如齐次法之类），却不一定告诉你背后为什么要这么想。其实，它有物理上的根源。

物理还有一个好处：它会帮你理解一般与特殊的关系。物理问题往往是一般的，而数学问题很多时候是特殊的。比如数学里告诉你一个三角形有一个 90 度角、一个 30 度角，你就知道这是个特殊三角形，里头有很多特别的结论；但物理问题很难被设计成特别的，你设计的物理问题里的数字其实都可以随便换，所以物理处理的往往是一般性的问题。无论数学还是物理，特殊的具体问题和一般的问题这两面都很重要，如果你能对二者有一个平衡的认识，理解自然会加深。

十一、现场示例：从源头理解幂

最后，我们就以一个非常基础、也很枯燥的代数对象——幂——来现场看看：它有没有一条贯穿的脉络？能不能从源头来理解，而不是把规则一条条死记下来？

请大家（包括家长）把自己当成还没学过这个东西的学生，有问题随时提。我们的课堂是要求学生必须互动的，没有问题我就反过来问大家。

幂这个字，同学不一定听讲过，但一定听过它更通俗的说法：几次方，二次方、三次方。

我先问两位同学：我们为什么要用乘法？乘法有什么用？

现场同学： 图个简便。比如 很简单，但 我不一定一下就知道等于几。
主讲人： 很好。

关键就在于：乘法是一种简记。当我写下 ，其实是在写一个缩略——用它来代替把 20 个 5 加起来。因为那样一个个写太长，根本写不下。

同样地，幂就是乘法的简记。下面我们顺着这条线，把整套幂的规则从头走一遍。你会看到：每当直观失效，我们都不靠死记，而是靠让已有的规则继续成立去反推出新的定义。

1. 整数次幂：从直观定义到规则 I

幂最初的定义，就是相同因数连乘的直观写法：

由这个直观定义，马上能看出一条规则 I：

因为左边是 个 连乘，再接着 个 连乘，合起来正好是 个 连乘。

2. 零次幂：2⁰ 等于多少？为什么？

到了 ，直观的连乘已经讲不通了——0 个 2 相乘是什么意思？这时有两条路。

① 找规律。把指数往下排：

每往右一格乘以 2，那么往左一格就该除以 2；由 往左退一步，自然得到 。

顺带一个思考题：那么 等于多少？

但找规律这条路有个隐患：规律是我们看出来的，凭什么一定对？所以更可靠的是第二条路。

② 用规则 I 来定。我们希望规则 I 对 也继续成立。如果只盯着 ，单看是定不下来的；但借助规则 I 就唯一确定了：

也就是说，只要我们坚持让规则 I 成立， 就只能是 1，没有别的选择。这才是 真正的理由——不是规定，而是为了不破坏规则 I。

3. 负整数次幂：2⁻² 等于多少？

到了负指数，直观更彻底地用不上了—— 个 2 相乘完全没有意义。仍然是两条路，而我们仍以规则 I 为准。

① 找规律。

② 用规则 I 来定。

推广开来：

负指数的含义，就这样被规则 I 逼了出来。

4. 规则 II：规则 I 的升级

接着问： 等于多少？

① 从定义。 就是把 连乘 4 次：

② 用规则 I。

一般地，这就是规则 II：

5. 规则 III

6. 幂的运算法则原理：一切都从 I、II、III 来

到这里就要点出整套体系的源头了：幂的所有运算规则，都可以由规则 I、II、III 推出来，不必另记。举两个例子：

你看，平时要单独去记的同底数相除指数相减、分式的幂等等，在这里都不是独立的新规则，而是 I、II、III 的直接结果。

7. 分数次幂：2¹ᐟ² 等于多少？

到了分数指数，找规律已经无从下手了——你没法在整数那一排里直接看出 该填什么。于是我们彻底依赖前面的规则：

也就是 。注意：这个结论同样不是凭空规定的，而是为了让规则 II 继续成立，被逼出来的。

留两个思考题： 和 分别等于多少？再想一想， 和 相比，哪个更大？

走到这里，幂这条线就完整了：从相同因数连乘的直观定义出发，提炼出规则 I；此后每当直观失效——零次、负次、分数次——我们都不去硬记新规则，而是反复用同一句话来确定它的含义：让已有的规则继续成立。这，就是从源头理解一个知识点的样子。

十二、学习是输出，不只是接收

刚才那段关于幂的演示，大家可能注意到了，从头到尾都是我在问、两位同学在答。这是刻意的，因为它正是我们最看重的一件事：学习是输出，不只是接收。

很多人默认，学习就是把老师讲的、书上写的接收进来，装进脑子。可真正发生学习的那一刻，往往是在你把它讲出来、用出来、做出来的时候。你能把幂为什么等于这个、量纲为什么这样换算，清清楚楚讲给别人听，你才算真的懂了。

我给大家看一张图，这是我们一节课的发言记录，右下角标着共有七个发言人。最上面那条长长的，是老师；但你往下看，六个学生每一条都是密密麻麻的发言。这就是我们课堂的常态：每个孩子都在不停地讲、不停地被追问。上面那道二次函数的压轴题，也是学生自己推、自己上去写的，我在旁边只管问为什么、还有没有别的走法。老师从头讲到尾、学生从头记到尾的那种课，在我们这儿很少见。

为什么一定要这样？因为接收是廉价的，输出是昂贵的，而恰恰是昂贵的那部分才长本事。一道题你听老师顺一遍，当场觉得懂了，这种懂最靠不住；你自己讲一遍、写一遍、被人当场问倒一次再补上，这才作数。前面我们批评过那种把模型和口诀喂给学生的教法，它的毛病也在这里：学生全程在接收，几乎不输出，所以看着会了，情境一换就垮。

十三、启发式原创作业：从源头理解

刚才我们说，乘法是加法的简记，幂是乘法的简记，理解一个东西要一直追到它的源头。我再给大家看一份作业，你就明白从源头到底是什么意思。

这份作业的标题写着：三三乘法表，用的是四进制。大家大概一眼看不懂上面这些符号，三角、尖角、竖道，因为这是一套全新的数字记号。我们让学生用这套他从没见过的符号，在四进制下，自己造一张乘法表，再拿它去做乘法、除法、列竖式。

先说这个名字本身就有讲究。我们背的叫九九乘法表，为什么是九九？因为十进制里最大的一位数是 9，表也就排到九乘九。可到了四进制，最大的一位数是 3，乘法表就只排到三乘三——它叫三三乘法表，正好对应十进制的九九乘法表。光是这个对应，就把一件大家从来没想过的事翻了出来：乘法表该有多大，原来是由进制定的，九九这个数字一点都不天经地义。一个孩子要是能自己想明白四进制的表为什么是三三，他对进制的理解就已经比背了十年九九表的人深了。

为什么要这么折腾他？因为你平时背的九九表、列的竖式，都是十进制、阿拉伯数字，你太熟了，熟到以为那是天经地义，根本不去想个位为什么满十进一、竖式为什么要这样错位。可一旦把数字换成你不认识的符号、把十进制换成四进制，你背的那张表立刻作废，所有口诀都救不了你。这时你只剩一条路：回到最源头，重新问运算到底是什么、进位到底是什么、竖式凭什么这样写，自己一步步推出来。

这就是我们说的启发式原创作业。它的原创，在于这套题、这套符号，你在任何教辅、任何搜题软件里都搜不到答案，你抄无可抄，只能自己想；它的启发，在于它把你逼回源头。一旦你能在四进制下、用陌生符号把乘除法做对，就说明你对运算这件事的理解，已经脱开了具体的符号和进制，触到了底下的根。

它看着像绕远路。可这条最远的路走一趟，运算的根就理解透了，往后任何进制、任何情境你都不慌。这也是这一页标题想说的：从源头理解，是最直接、最有效率的学习方式。

十四、不同年级最有价值的暑假转向

我们开头说，暑假的价值在于调整方向。具体到不同年级，方向该往哪儿转，这一页讲得很实在。

升初一的孩子，核心转向是从算术到代数。这是整个初中最关键的一次跨越。小学算术打交道的是具体的数，三加五、七乘八，都是定死的；代数要你开始跟字母、跟未知数打交道，设未知数为 x，处理的是一般的关系。很多孩子初一数学掉队，根子就在这次转向没完成，还用算术的脑子去对付代数。暑假把这道坎迈过去，后面一路顺；迈不过去，后面年年补。

升初二的转向是从题型到原理，同时物理起步。初一也许还能靠刷题型、记套路混过去；到了初二，几何全面铺开、内容陡增，题型记都记不过来，你必须转向理解原理。与此同时物理起步，而物理又是一门得从源头理解才学得动的科目，起步那一下尤其要紧，起好了事半功倍。

升初三这一年没有新方向了，是收口。暑假要做的是把初中三年的学科结构做一次回顾性的梳理，也就是前面说的，把那张知识的网在脑子里重新铺开，同时进入考试策略和考试训练。

这一页底下那句话很关键：每个年级各有一个必要的转向，在它该发生的时间窗口里去做，效率最高；错过窗口，后期再补，费力得多。这又落回我们开头的判断——暑假这段时间，最该做的是转向。

十五、学生去向：升学结果是副产品

讲到这里，可能有家长心里在打鼓：理念听着都好，从源头理解、不抢跑、做培育，那结果呢？孩子最后到底去了哪？这一页就是我们这些年学生的去向。

中学这一档，去了南外、南师附中、金中、UWC；国内这一档，去了南大、上海交大、中科大；海外这一档，去了 Colby、Hamilton、UChicago、Duke。

放出这一页，我要说的重点在底下那行小字：升学结果是副产品。

这话是认真说的。我们从不把考进某所学校当成目标去打。前面讲过那个悖论：死盯着某一次考试、某一个名额去训练的，往往两头落空；而踏踏实实把人养厚、把学科理解透、对长期负责的，这些去向反倒水到渠成地来了。它是副产品。我们瞄准的靶心从来不在这些校名上——你一旦把这些学校当靶心，手上的事就会慢慢变形，又滑回掐尖、刷题、套模型的老路。

十六、极致的应试准备：有能力的教育者进行系统工程

说到这儿可能又有一层误会：你们这么强调理解、强调长期，是不是就不在乎考试了？前面我说过，真正对长期负责的老师，往往也最能保住阶段性的目标。我们对应试非常认真，只是我们做应试的方式是系统工程，靠喊口号、拼时间是做不出来的。

我给大家看一张我们真实备考系统里的试卷分析表，这是第四次模考、二十六道题的逐题分析，个人数据已经隐去。大家看它怎么分析一道题——它不只看你这道题对没对、得了几分，而是给每道题标了两个维度：客观难度，指这道题本身有多难，是不是公认的硬骨头；主观难度，指这道题对你个人有多难、你做起来多吃力。

这两个维度一交叉，信息就出来了。你看第五题，客观难度只有一颗实心点，题本身挺简单，可这个学生主观难度两颗点、得分零分；再看第十六题，客观三颗点、主观三颗点，是真难，他也是零分。这两个零分，价值完全不一样。第十六题是真难题，丢分情有可原，补它性价比不高；第五题客观上简单、他却做错，这种丢分才最该马上补，因为它说明一个本不该出问题的地方出了问题，是离他最近、提分最快、也最危险的漏洞。这正是这一页底下那句话：客观难度乘以主观难度——一道客观上简单、却做错的题，比一道难题的失分更该马上补。

这套系统还能按不同维度把题分桶：所有错题、做错的高难度题、做错的低难度题、所有高难度题，另外配着得分统计和相应的任务与资料。

这就是我说的系统工程。它不神秘，但它要求能力——你得真懂这门学科、懂每道题考的是什么、懂这个学生卡在哪，才能把一次模考拆到这个颗粒度，再精准地决定他下一步补什么。这跟那种多刷题、多熬夜、抓纪律的应试，完全是两回事。极致的应试准备，本身就是一件专业的、系统的事。

结语：向上，不是向北

最后，我想用一本书来结束今天的分享。前面提过，我们给低年级孩子上过一门课，用的是《平面国》这本科幻小说。

《平面国》写的是一个二维世界，住在那里的是一些平面图形，他们的世界只有长和宽，没有高，方向只分东南西北。有一天，一个三维世界的球闯了进来，告诉那个二维的正方形：还有一个方向，叫向上。正方形怎么也理解不了——在他的世界里，你说的向上到底指哪儿？他脑子里只有东南西北，向上这个维度，他想破头也想象不出来。

我用这个故事收尾，是想说：今天讲的这些，抢跑也好、拆解也好、刷题型也好，都还是在同一个平面里打转；你往北跑得再快，人还在那张平面上。我们真正希望孩子拿到的，是那个二维世界的人想象不到的、垂直于这张平面的方向——向上。

向上，不是向北。向北是在原地的平面上更使劲地往前赶，向上是升出一个维度，是理解的升维。而有意思的地方在于：你一旦能向上，低头一看，整张平面尽收眼底，反倒更清楚该往哪儿走、怎么走。所以这一页底下写着——向上看，可以更好地向前赶。